Mathématiques de base Exemples

$\frac{9 y^{4} + 14 y^{2} - 8}{3 y + 2}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $y^{4}$ comme ${(y^{2})}^{2}$ .

$\frac{9 {(y^{2})}^{2} + 14 y^{2} - 8}{3 y + 2}$

Étape 1.2

Laissez $u = y^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $y^{2}$ par $u$ .

$\frac{9 u^{2} + 14 u - 8}{3 y + 2}$

Étape 1.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot - 8 = - 72$ et dont la somme est $b = 14$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $14$ à partir de $14 u$ .

$\frac{9 u^{2} + 14 (u) - 8}{3 y + 2}$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez $14$ comme $- 4$ plus $18$

$\frac{9 u^{2} + (- 4 + 18) u - 8}{3 y + 2}$

Étape 1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 u^{2} - 4 u + 18 u - 8}{3 y + 2}$

Étape 1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(9 u^{2} - 4 u) + 18 u - 8}{3 y + 2}$

Étape 1.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{u (9 u - 4) + 2 (9 u - 4)}{3 y + 2}$

Étape 1.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 u - 4$ .

$\frac{(9 u - 4) (u + 2)}{3 y + 2}$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2}$ .

$\frac{(9 y^{2} - 4) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Étape 1.5

Réécrivez $9 y^{2}$ comme ${(3 y)}^{2}$ .

$\frac{({(3 y)}^{2} - 4) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Étape 1.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{({(3 y)}^{2} - 2^{2}) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Étape 1.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 y$ et $b = 2$ .

$\frac{(3 y + 2) (3 y - 2) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $3 y + 2$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 y + 2) (3 y - 2) (y^{2} + 2)}{3 y + 2}$

Étape 2.2

Divisez $(3 y - 2) (y^{2} + 2)$ par $1$ .

$(3 y - 2) (y^{2} + 2)$

Étape 3

Développez $(3 y - 2) (y^{2} + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y (y^{2} + 2) - 2 (y^{2} + 2)$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 y \cdot y^{2} + 3 y \cdot 2 - 2 (y^{2} + 2)$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 y \cdot y^{2} + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1.1

Déplacez $y^{2}$ .

$3 (y^{2} y) + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Étape 4.1.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 4.1.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$3 (y^{2} y^{1}) + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Étape 4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 y^{2 + 1} + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Étape 4.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 y^{3} + 3 y \cdot 2 - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Étape 4.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 y^{3} + 6 y - 2 y^{2} - 2 \cdot 2$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$3 y^{3} + 6 y - 2 y^{2} - 4$

Étape 4.2

Déplacez $6 y$ .

$3 y^{3} - 2 y^{2} + 6 y - 4$